Curvas planas y ecuaciones paramétricas.
Del estudio de las funciones reales se sabe que, si una recta vertical cualquiera interseca una curva en más de un punto, entonces la gráfica de la curva no define a ye como función de equis, esto es \(y\neq f\left(x\right)\), sin embargo, es posible escribir cada uno de los puntos de la gráfica de la curva \(C\) al introducir una nueva variable por lo general denotada por t escribiendo \(x=f\left(t\right)\) y \(y={\rm g}\left(t\right),\) donde la variable \(t\) es llamada parámetro y de esto se tienen las llamadas ecuaciones paramétricas.
Curva y ecuaciones paramétricas.
Sea \(C\) una curva en el plano la cual puede ser escrita mediante las funciones continuas de t, \(x=f\left(t\right)\) y \(y={\rm g}\left(t\right)\) como un único punto \((x,y)\) entonces las ecuaciones \( x=f\left(t\right)\) y \(y={\rm g}\left(t\right)\) son las ecuaciones paramétricas de la curva la cual es llamada curva paramétrica o curva plana.
De manera gráfica se dice que una curva es suave o plana cuando no tiene puntos angulares ni discontinuidades a lo largo de toda su trayectoria. Analíticamente una curva \(C\) de ecuaciones paramétricas, \(x=f\left(t\right),\ \ \ y={\rm g}\left(t\right)\) para \(a\le t\le b\) donde las funciones \(f\left(t\right)\) y \({\rm g}\left(t\right)\) son continuamente derivables y no simultáneamente cero es una curva suave como la que se muestra en la figura.
El parámetro \(t\) suele usarse para representar el tiempo, pero no obligatoriamente debe hacerlo. Cuando \(t\) representa el tiempo las ecuaciones paramétricas representan la posición de una partícula cuyo moviendo está en el plano. La curva suele tener un punto inicial \((f\left(a\right),\ {\rm g}\left(a\right))\) y un punto final \((f\left(b\right),\ {\rm g}\left(b\right)).\)
Ejemplo. a. Determinar una ecuación cartesiana para la curva \(C\) cuya ecuaciones paramétricas son \(x=t^2+3t;\ \ y=t-1\) b. Realizar un bosquejo de su gráfica.
Solución: para la ecuación cartesiana se despeja el parámetro \(t\) en la ecuación que sea más fácil (en este caso ye) de donde \(t=y+1,\) ahora se sustituye este valor en \(x.\)
$$x=\left(y+1\right)^2+3\left(y+1\right)\Longrightarrow x=y^2+5y+4$$
La cual es la ecuación de una parábola horizontal que abre hacia la derecha cuyo vértice es \((-9/4,-5/2).\)
Ejemplo. Determinar una ecuación cartesiana para la curva C cuya ecuaciones paramétricas son \(x=3\cos{t};y=3\sin{t}\)
Solución: note la dificultad de despejar \(t\) en una de las ecuaciones paramétricas por lo que en esta ocasión, fundamentados en la igualdad \(\sin^2{t}+\cos^2{t}=1\) se toma la suma de los cuadrados de las ecuaciones paramétricas, esto es,
$$x^2+y^2=9\cos^2{t}+9\sin^2{t}\Longrightarrow x^2+y^2=9(\cos^2{t}+\sin^2{t})$$
de donde se obtiene \(x^2+y^2=9\) la cual representa un círculo de radio tres, centrado en el origen.
Ejercicio. Escribir la parametrización de la recta que pasa por el punto \(P\left(x_1,y_1\right)\) y que tiene pendiente \(m.\)
Solución: de la forma punto pendiente la ecuación buscada es \(y=m\left(x-x_0\right)+y_0.\) Tomando \(x-x_1=t\ \Longrightarrow x=t+x_1\) por lo que, \(y=m\left(t+x_1-x_1\right)+y_1\) de donde \(y=mt+y_1.\)
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Derivación paramétrica y rectas tangentes.
Se dice que una recta la cual toca en determinado punto la gráfica de una función \(f\) es una recta tangente en ese punto. La función \(f\) puede tener distinas rectas tangentes, lo que obliga a hablar de recta tangente a la curva en un punto y no de manera general. Del análisis matemático en una sola variable dicha recta se define como:
Recta tangente a una curva en un punto.
Sea \(C\) una curva cuya gráfica contiene al punto \((x_1,y_1),\) se dice que la recta \(y=mx+n\) la cual pasa por el punto y tiene pendiente \(m=y\prime(x_1,y_1)\) es la recta tangente a \(C\) en el punto, siempre que \(y\prime(x_1,y_1)\) exista.
Al analizar el concepto de derivada en un punto de una curva paramétrica si C es una curva en el plano cuyas ecuaciones paramétricas son \(x=f\left(t\right)\) y \(y=g\left(t\right)\) en punto donde \(y=f\left(x\right),\) entonces es posible obtener la derivada \(dy/dx\) en función del parámetro \(t\) mediante la regla de la cadena como sigue,
Derivadas paramétricas de una curva
$$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\Longrightarrow\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$ donde \(dy/dx\) representa la pendiente de la recta tangente en cualquier punto \(P\left(x,y\right)\) sobre la curva \(C,\) siempre que \(dx/dt\neq0.\) Si \(dy/dt=0\) la curva posee una recta tangente horizontal, mientras que si \(dx/dt=0\) la curva posee una recta tangente vertical en punto \(\left(f\left(t\right),{\rm g}\left(t\right)\right),\) siendo posible recta tangentes y normales si se conoce el valor del parámetro t sin la necesidad de eliminarlo al evaluar \(dy/dt\) en el punto \(t=c.\) La derivada evaluada en \(t=c\) se escribe como, $$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=c}=\left.\frac{dy}{dx}\right|_c$$ Ver Ej1 y Ej.2 del apartado Ejercicio I en la pestaña superior.
Derivadas de orden superior.
Si en la expresión \(y\prime=dy/dx\) definen a la variable ye como una función suficientemente diferenciable en \(t,\) entonces, para cualquier punto en el cual \(dx/dt\neq0\) también es posible definir derivadas de orden superior en la forma,
Derivadas paramétricas de orden superior
$$\frac{d^ny}{dx^n}=\frac{dy^{n-1}/dt}{dx/dt} $$
Ejemplo. Determinar \(d^2y/dx^2\) dada la curva \(C\) de ecuaciones \(x=4\cos{t};\ y=3\sin{t}\)
Solución:
$${\rm Solución:} \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt} \Longrightarrow\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dy^\prime/dt}{dx/dt}$$
\begin{align}
&\frac{dy}{dx}=\frac{3\cos{t}}{-4\sin{t}}=-\frac{3}{4}\cot{t}\\
&\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-\frac{3}{4}D_t(\cot{t})}{D_t(4\cos{t})}=-\frac{3}{4}\frac{-\csc^2{t}}{(-4\sin{t})}\\
&\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{3}{16}\frac{1}{\sin{t}}\csc^2{t}=-\frac{3}{16}\csc^3{t}\end{align}
Ejemplo. Determinar \(d^2y/dx^2\) dada \(x=t-t^3\ \ \ y=t-t^2\)
\begin{align}
&{\rm Solución:} \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{1-2t}{1-3t^2}\\
&\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dy^\prime/dt}{dx/dt}=\frac{(1-3t^2)D_t(1-2t)-(1-2t)D_t(1-3t^2)}{{(1-3t^2)}^2(1-3t^2)}\\
&\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(1-3t^2)(-2)-(1-2t)(-6t)}{{(1-3t^2)}^3}\\
&\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-2t+6t^3+6t+12t^2}{{(1-3t^2)}^3}=\frac{6t^3+12t^2+4t}{{(1-3t^2)}^3}\\
&\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2t(3t^3+6t^2+2)}{{(1-3t^2)}^3}\end{align}
Ejemplo. Determinar \(d^2y/dx^2\) para la curva \(C\) dada por \(x=e^{3t}-t^3;\ y=t^2e^{2t}\)
\begin{align}
&{\rm Solución:}~ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\\
&\frac{dy}{dx}=\frac{D_t\left(t^2e^{2t}\right)}{D_t\left(e^{3t}-t^3\right)}\\
&\frac{dy}{dx}=\frac{e^{2t}D_t\left(t^2\right)+t^2D_t\left(e^{2t}\right)}{3e^{3t}-3t^2}=\frac{2te^{2t}+2t^2e^{2t}}{3(e^{3t}-t^2)}\\
&\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dy^\prime/dt}{dx/dt}=\frac{2}{3}\frac{D_t\left(\frac{e^{2t}\left(t+t^2\right)}{e^{3t}-t^2}\right)}{D_t\left(e^{3t}-t^3\right)}\\
&\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{3}\frac{\frac{e^{2t}D_t(t+t^2)+(t+t^2)D_t(e^{2t})}{{(e^{3t}-t^2)}^2}}{3(e^{3t}-t^2)}\\
&\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{9}\frac{e^{2t}(1+2t)+(t+t^2)(2e^{2t})}{{(e^{3t}-t^2)}^3}\\
&\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{9}\frac{e^{2t}+4te^{2t}+2t^2e^{2t}}{{(e^{3t}-t^2)}^3}\end{align}
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Áreas y longitud de arcos para curvas paramétricas.
Área encerrada por una curva paramétrica.
En el curso básico de cálculo integral (anterior a este), se demostró que si \(y=f(x)\) es no negativa (gráfica está siempre por encima del eje horizontal) y continua en un intervalo \([a,b]\) el área debajo de la curva de la gráfica de \(f(x)\) en \([a,b]\) es,
$$A=\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$
Sea \(C\) la curva de ecuaciones \(x=x\left(t\right)\) y \(y=y\left(t\right)\) definida para el intervalo \(c\le t \le d,\) tal que \(C\) es no negativa, el área encerrada por la curva \(C\) en el intervalo es,
Área bajo una curva paramétrica.
$$A=\int_{c}^{d}y\left(t\right)x\prime\left(t\right)dt=F(d)-F(c)$$
En algunos casos es posible determinar el área encerrada por una curva, aun cuando ésta no cumpla con el concepto de función no negativa al aprovechar la simetría de la gráfica. Para ver esto considera el círculo de centro \((0,0)\) y radio \(r,\) de la figura, con respecto del eje \(x\) el círculo tiene un parte por encima y otra por debajo, por lo que la curva descripta no cumple la condición de ser función no negativa, sin embargo, es posible determinar el área encerrada por la curva mediante la adición de áreas, al notar que el área total es cuatro veces el área sombreada como se ilustra en los ejercicios Ej3 y Ej4 del apartado Ejercicios I.
Longitud de arco de una curva paramétrica.
Algunas veces es útil conocer una función la cual mida la longitud de la curva \(C\) entre dos puntos de ella, en tales casos si \(y=f\left(x\right)\) para \(a\le x\le b\) se define la nueva función \(s\left(x\right)\) llamada función de longitud de arco la cual mide la distancia entre los puntos \(P_1\left(a,f\left(a\right)\right)\) y \(P_2\left(b,f\left(b\right)\right)\) siempre que \(y^\prime\left(x\right)\) sea continua para el intervalo \(a\le x\le b,\) y la curva \(s\left(x\right)\) en este intervalo sea recorrida exactamente una vez como,
$$s\left(x\right)=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx}\ \ \ (\ast\ast)$$
Si el parámetro \(t\) representa el tiempo, la curva \(C\) es la trayectoria a través de la que se mueve una partícula (o punto), entonces la longitud de arco \(s\) representa la distancia recorrida por la partícula. Al considerar el caso de una curva \(C\) definida en forma paramétrica, por las ecuaciones \(x=f\left(t\right);\ y={\rm g}\left(t\right)\) para algún intervalo \(a\le t\le b\) donde \(f\left(t\right)\) y \({\rm g}\left(t\right)\) son continuamente derivables y además la suma de los cuadrados de sus derivadas es mayor que cero, esto es,
$$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2>0$$
si la curva \(C\) es recorrida solo una vez en el intervalo \(a\le t\le b,\) bajo estas condiciones al sustituir \(dy/dx\) en su forma paramétrica en \((\ast\ast)\) se obtiene,
$$s=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\left(\frac{dy/dt}{dx/dt}\right)^2}dx}=\int_{c}^{d}{\sqrt{\frac{\left(dx/dt\right)^2+\left(dy/dt\right)^2}{\left(dx/dt\right)^2}}\frac{dx}{dt}dt}$$
al realizar las operaciones se obtiene la expresión para longitud de arco.
Longitud de arco de una curva paramétrica.
$$s=\int_{c}^{d}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt}$$ Se ha de notar que para el caso especial en que \(y=f\left(x\right)\) haciendo \(x=t\) se obtiene \(f\left(x\right)=f\left(t\right)\) así que la gráfica de \(f\left(x\right)\) es la gráfica de la curva \(f\left(t\right)\) por lo que, $$\frac{dx}{dt}=\frac{dt}{dt}=1$$ lo cual produce $$s=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\ast\ast)$$ que es la expresión conocida para la longitud de arco de una curva si \(y=f\left(x\right).\) Si la curva paramétrica \(C\) se define en el plano el diferencial de longitud de arco \(ds\) es, \begin{align} &ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\\ &ds=\sqrt{\left(dx\right)^2+\left(dy\right)^2}\end{align} lo cual permite definir la longitud de arco en función del diferencial de arco.
En el espacio mediante ecuaciones paramétricas la longitud de la curva es, $$s=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt\ \ (\ast\ast\ast)$$ Lo cual no es más que agregar la variale \(z\) a la discución, lo cual produce un diferencial \(dz/dt.\)
Área de una superficie de revolución.
De igual manera que en el cálculo de longitud de arco, es posible utilizar la integración definida para obtener el área de una superficie de revolución, al considerar una curva \(C\) la cual no se interseca a sí misma, definida por las ecuaciones paramétricas \(x=f\left(t\right);\ \ y=g\left(t\right)\) cuyas derivadas son continuas en un intervalo \(a\le t\ \le b\) en el cual rota la curva alrededor de uno de los ejes de coordenadas, entones el área de la superficie de revolución resultante está da como,
Área de una superficie de revolución.
\begin{align} &A=2\pi\int_{a}^{b}{{\rm g}\left(t\right)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt}\ \ {\rm rotación~horizontal}\\ &A=2\pi\int_{c}^{d}{f\left(t\right)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt}\ \ \ {\rm rotación~vertical} \end{align} En el caso específico donde ye esté escrita explícitamente como una función de equis o equis como función de ye, las ecuaciones se transforman en las formas, \begin{align} &A=2\pi\int_{a}^{b}y\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx\\ &A=2\pi\int_{c}^{d}y\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}dy\end{align} Donde \(r\left(x\right)\) y \(r\left(y\right)\) son las distancias entre la gráfica de \(f\) y el eje de revolución y además, al recordar la definición de diferencial de arco ds se pueden escribir las fórmulas de una manera compacta como,
Área de superficie de revolución mediante longitud de arco.
\begin{align} &A=2\pi\int_{a}^{b}{{\rm g}\left(t\right)ds} ~~~~~{\rm Rotación~horizontal}\\ &A=2\pi\int_{c}^{d}{f\left(t\right)ds}~~~~~ {\rm Rotación ~vertical}\end{align}
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Una recta tangente. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva dada por, \(x=\cos{t};~y=\sin{t},\) en el punto \(P\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)\) para \(0< t< \pi/2\) donde \(t=\pi/4.\)
Una recta tangente. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva dada por, \(x=\tan{t}; \ y=\sec{t}\) para \(0< t < \pi/2\) en el punto \(P\left(\sqrt3,2\sqrt3/3\right)\) donde \(t=\pi/3.\)
Área de un círculo. Determinar el área encerrada por la curva de ecuaciones paramétricas \(x=r\cos{t};\ y=r\sin{t},\) donde \(0\le t\le2\pi\) (figura de la izquierda).
Uso de fórmula de Wallis. Determinar el área encerada por el astroide cuyas ecuaciones paramétricas son \(x=\cos^3{t};\ y=\sin^3{t}\) para \(0\le t\le2\pi\)
Longitud de arco de funciones explicita. Determinar la longitud de arco de las curvas dadas en el intervalo indicado. \begin{array}{c} 1.~ y=\frac{3}{2}x^{3/2}+5\ \ \left[0,1\right]~~~& 2.~y=\frac{x^4}{8}+\frac{1}{4x^2},\ \ [1,2]~~~& 3.~y=\frac{x^4}{4}+\frac{1}{3x^2}\ \ [2,4]\end{array}
Perímetro de un círculo. Determine la longitud de la curva cuya ecuaciones paramétricas son, \(x=r\cos{t}\ \ y=r\sin{t}\) para \(0\le t\le2\pi.\)
Longitud de un cicloide. Determine la longitud de la curva \(C\) dada por \(x=r(t-\sin{t});\ y=r(1-\cos{t})\) donde \(r>0,\) para \(0\le t\le2\pi.\)
Longitud de un astroide. Determinar la longitud del astroide cuyas ecuaciones paramétricas son \(x=\cos^3{t}\) y \(y=\sin^3{t}\) para \(0\le t\le2\pi.\)
La paradoja de un epicicloide. Un epicicloide es una curva descrita por la trayectoria de un punto sobre un círculo de radio \(r_2\) el cual gira alrededor de un círculo de radio \(r_1,\) descrita por las ecuaciones paramétricas, \begin{align} &x=\left(r_1+r_2\right)\cos{t}-r_2\cos{\left(\left(r_1+r_2\right)t\right)}\\ &y=\left(r_1+r_2\right)\sin{\left(t\right)}-r_2\sin{\left(\left(r_1+r_2\right)t\right)}\end{align} donde \(t\) es el ángulo de rotación. Sea la curva \(C\) descrita por las ecuaciones, \begin{align} &x=4\cos{t}-\cos{\left(4t\right)}\\ &y=4\sin{\left(t\right)}-\sin{\left(4t\right)}\end{align} Determinar la distancia recorrida por un punto sobre el círculo de radio \(r_2=1\) al recorrer el círculo de radio \(r_1=3.\)